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233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
3524578
5702887
…
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196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
3524578
5702887
…
入り口
いま挙げた数列は、ある規則に従っている。
この数列は、自然界にも見出すことができる。
ならばこれを数学と自然界を繋ぐ架け橋と言おう。
実はこの0と1から始まる数列は、加算に従っている。
0+1が次の数字1。1+1が次の数字2。1+2が次の数字3…。
2つ前の数字と1つ前の数字を足せば、今書くべき数字が求まる。
単純な規則に支配されたこれら数たちは、とても美しい図形をも描く。
この数列は、自然界にも見出すことができる。
ならばこれを数学と自然界を繋ぐ架け橋と言おう。
実はこの0と1から始まる数列は、加算に従っている。
0+1が次の数字1。1+1が次の数字2。1+2が次の数字3…。
2つ前の数字と1つ前の数字を足せば、今書くべき数字が求まる。
単純な規則に支配されたこれら数たちは、とても美しい図形をも描く。
単純な規則
1番目の数字が0。
2番目の数字が1。
3番目の数字＝2つ前の数字＋1つ前の数字。
ゆえに3番目の数字は1。
4番目の数字＝2つ前の数字＋1つ前の数字。
ゆえに4番目の数字は2。
…
これを一般化する。
(ｎ)番目の数字＝(ｎ-2)番目の数字＋(ｎ-1)番目の数字
2番目の数字が1。
3番目の数字＝2つ前の数字＋1つ前の数字。
ゆえに3番目の数字は1。
4番目の数字＝2つ前の数字＋1つ前の数字。
ゆえに4番目の数字は2。
…
これを一般化する。
(ｎ)番目の数字＝(ｎ-2)番目の数字＋(ｎ-1)番目の数字
$$ (n) = (n-2) + (n-1) $$
たったこれだけ。見つけた瞬間
人間がこの数列に気づいたときのお話。
この数列を見つけた人はその時、美しい図形には興味が無かった。
では、何から見つけたのか？
その人はウサギの個体数に興味があった。
もちろん頭の中の想像上のウサギについての。
この数列を見つけた人はその時、美しい図形には興味が無かった。
では、何から見つけたのか？
その人はウサギの個体数に興味があった。
もちろん頭の中の想像上のウサギについての。
頭の中の想像上の大地には最初、オスとメスの小ウサギがそれぞれ１匹づついる。
ひと月が経つ。
その小ウサギはひと月で成長し、
ふた月が経つ頃にはオスとメスの小ウサギを生む。
生まれた小ウサギは親と同じようにひと月で成長する。
親ウサギはその間にオスとメスの子ウサギを生む。
もうひと月経つ。
小ウサギは成長し、親ウサギはまたオスとメスの小ウサギを生む。
同じく成長した子ウサギもオスとメスの子ウサギを生む。
ここで彼らは不死であるとする。
この過程を繰り返す。
これらの関係を図にしよう。
これらの関係を図にしよう。
脳内にある想像上の大地に住むうさぎ達。
縦に並ぶ数字は経過時間（ヶ月）。
横に並ぶ数字はうさぎの世代数（世代）。
縦に並ぶ数字は経過時間（ヶ月）。
横に並ぶ数字はうさぎの世代数（世代）。
もう一度、このうさぎ達についておさらい。
最初はオスとメスの子ウサギがいる。
ここに住むうさぎは次の成長パターンを必ず見せる。
最初はオスとメスの子ウサギがいる。
ここに住むうさぎは次の成長パターンを必ず見せる。
子ウサギは1ヶ月で大人に成長。
次の1ヶ月でオスとメスの子ウサギを生む。
生まれた子ウサギは、生まれた月からこのパターンに従って成長/繁殖する。
そしてこのうさぎ達は不死である。
その時、このうさぎ達の時間に対する世代数の増え方、
それを数式化したものが…
次の1ヶ月でオスとメスの子ウサギを生む。
生まれた子ウサギは、生まれた月からこのパターンに従って成長/繁殖する。
そしてこのうさぎ達は不死である。
その時、このうさぎ達の時間に対する世代数の増え方、
それを数式化したものが…
$$ (n) = (n-2) + (n-1) $$
そう、あの数列の発見である。美しい図形
実はこの数列には、いくつもの驚きが隠れている。
ここにその驚きを、ほんの少しだけ、記録しよう。
まずはこの数列が描く螺旋について。
こんなマス目があったとする。
このマス目に正方形を隙間なく敷いてゆく。
このとき敷く正方形の辺の長さは、あの数列になるように。
こんなふうに隙間なく。
ここで、これら正方形の一角を中心とする円を描く。
ようは半径があの数列になる円で、正方形を埋めてゆけばOK。
このとき上図のように、円周が一筋になるよう円の中心を置く。
正方形が円で埋まったら、その円周をなぞってみよう。
なんと美しい螺旋が描けた！
この螺旋は自然界のあらゆるところに見出すことができる。
貝殻の曲線。
水が渦を巻くときの形。
動物のツノやキバのカーブ。
宇宙に浮かぶ渦巻き状銀河の形。
電子の衝突で飛び散る素粒子が描く軌道。
このような螺旋は、ベルヌーイ螺旋と呼ばれる螺旋の仲間であると言える。
ここにその驚きを、ほんの少しだけ、記録しよう。
まずはこの数列が描く螺旋について。
こんなマス目があったとする。
このとき敷く正方形の辺の長さは、あの数列になるように。
こんなふうに隙間なく。
ようは半径があの数列になる円で、正方形を埋めてゆけばOK。
正方形が円で埋まったら、その円周をなぞってみよう。
貝殻の曲線。
水が渦を巻くときの形。
動物のツノやキバのカーブ。
宇宙に浮かぶ渦巻き状銀河の形。
電子の衝突で飛び散る素粒子が描く軌道。
金色の数字
この数列は、美しい螺旋を描くだけでは終わらない。
この数列を使えばより美しい図形も描けるのだ。
善は急げ。
この数列が今すぐ逃げ出すワケでは無いが、今すぐ試して損はないだらう。
数列の（n）番目の数字を、（n-1）番目の数字で割る。
10番目の数字”34”を、9番目の数字”21”で割る。
100番目より、
10,000番目より、
100,000,000,000番目より
大きな数字。
数学には良い表現方法があった。
ｎを限りなく無限に近づける
数学の言葉で”極限（limit）”という。
そしてそれを $ \lim $ と書く。
こんなふうに
あの数列を規則どおりにずっとずっと書いてゆく。
無限と言っても良いほど書いたとき、今書いたその数字を1つ前に書いた数字で割る。
すると不思議なことにある数字に落ち着いてゆく。
1.61803399…
この数字はとても美しい数字で、 その名を黄金数（Golden Number）と言う。
この数字についてはまた後ほど…。
この数列を使えばより美しい図形も描けるのだ。
善は急げ。
この数列が今すぐ逃げ出すワケでは無いが、今すぐ試して損はないだらう。
数列の（n）番目の数字を、（n-1）番目の数字で割る。
$$ \frac {\left( n\right) } {\left( n-1\right) } $$
例えばｎが10なら、10番目の数字”34”を、9番目の数字”21”で割る。
$$ \frac {34} {21} $$
もしこのｎが、とてつもなく大きな数字だったとする。100番目より、
10,000番目より、
100,000,000,000番目より
大きな数字。
数学には良い表現方法があった。
ｎを限りなく無限に近づける
$$ n \rightarrow \infty $$
あるものを限りなくある数値に近づける操作を、数学の言葉で”極限（limit）”という。
そしてそれを $ \lim $ と書く。
こんなふうに
$$ \lim _{n\rightarrow \infty }\frac {\left( n\right) } {\left( n-1\right) } $$
数学を使うと、こんな簡単な式に表現できる。あの数列を規則どおりにずっとずっと書いてゆく。
無限と言っても良いほど書いたとき、今書いたその数字を1つ前に書いた数字で割る。
すると不思議なことにある数字に落ち着いてゆく。
1.61803399…
この数字はとても美しい数字で、 その名を黄金数（Golden Number）と言う。
この数字についてはまた後ほど…。
この記録の終わりに
これは始まりに過ぎない。
この数列の魅力はこれだけではない。
もっとこの数列の秘密を知りたい。
そうだ。
最後にこの数列の名前を挙げておく。
この数列、自然が生み出した美しい数列の名は、
見つけた人の名前にちなんで、
フィボナッチ（Fibonacci）数列
と呼ばれている。
もちろんこれは人間界にのみ通じる名前だが。
この数列の魅力はこれだけではない。
もっとこの数列の秘密を知りたい。
そうだ。
最後にこの数列の名前を挙げておく。
この数列、自然が生み出した美しい数列の名は、
見つけた人の名前にちなんで、
と呼ばれている。
もちろんこれは人間界にのみ通じる名前だが。
参考/引用元/文献
- フィボナッチ数 | Wikipedia
- Fibonacci | fibonacci.name
- NGC4622(Photo) | hubblesite.org
- 数の悪魔 | Hans Magnus Enzensberger
8023966795898422755
https://www.storange.jp/2012/10/blog-post.html
https://www.storange.jp/2012/10/blog-post.html
自然が生み出した数列
2012-10-01T00:46:00+09:00
https://www.storange.jp/2012/10/blog-post.html
Hideyuki Tabata
Hideyuki Tabata
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