English
Where Are the Zeros of Zeta of S?
Words by Tom M. Apostol
(To the tune of "Sweet Betsy from Pike")
Words by Tom M. Apostol
(To the tune of "Sweet Betsy from Pike")
Where are the zeros of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess
They’re all on the critical line, stated he
And their density’s one over two pi log t
This statement of Riemann's has been like a trigger
And many good men with vim and with vigor
Have attempted to find with mathematical rigor
What happens to zeta as mod t gets bigger
The efforts of Landau and Bohr and Cramér
Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there
In spite of their effort and skill and finesse
In locating the zeros there's been no success
In 1914 G.H. Hardy did find
An infinite number that lie on the line
His theorem, however, won't rule out the case
That there might be a zero at some other place
Let p be the function Pi minus Li
The order of p is not known for x high
If square root of x times log x we could show
Then Riemann's conjecture would surely be so
Related to this is another enigma
Concerning the Lindelöf function mu sigma
Which measures the growth in the critical strip
On the number of zeros it gives us a grip
But nobody knows how this function behaves
Convexity tells us it can have no waves
Lindelöf said that the shape of its graph
Is constant when sigma is more than one-half
Oh, where are the zeros of zeta of s?
We must know exactly. It won't do to guess
In order to strengthen the prime number theorem
The integral's contour must never go near 'em
André Weil has improved on old Riemann's fine guess
By using a fancier zeta of s
He proves that the zeros are where they should be
Provided the characteristic is p
There's a moral to draw from this long tale of woe
That every young genius among you must know
If you tackle a problem and seem to get stuck
Just take it mod p and you'll have better luck
日本語訳
ゼータ函数の零点はどこに？
作詞:トム・アポストル
("パイクから来た愛しのベッツィー"にのせて)
作詞:トム・アポストル
("パイクから来た愛しのベッツィー"にのせて)
ゼータ函数の零点はどこにある？
G.F.B.リーマンは予想した
零点はすべて臨界線上にあると
そしてその密度は$ 1/2 \pi \log t $
このリーマン予想は話題となった
活気と活力に満ちた多くの人が
数学で厳密に確かめようとした
tの絶対値が大きくなるとゼータに何が起こるかを
ランダウとボーアとクラメールの奮闘
ハーディとリトルウッドとティッチマーシュも居た
彼らのあざやかな技巧と努力があっても
零点の正確な位置は解らなかった
1914年にG.H.ハーディは見つけた
臨界線上には無限の零点が載っていることを
でもその定理では見い出せなかった
他の場所に零点は無いという確証を
pを函数$ \pi-Li $とする
大きな数xについて pのオーダーは解らない
もしそれがxの平方根掛ける$ log x $だと示せれば
リーマンの予想は正しいと言える
これに関連した別の謎
リンデレーフの函数$ \mu(\sigma) $
臨界帯上での増加を観測する
零点の数にヒントをくれるだろう
でもこの函数がどうふるまうかは誰にも分からない
凸面が有って波型では無いことは確かだ
リンデレーフ曰く そのグラフの形は
$ \sigma $が1/2より大きければ定数になるのだとか
嗚呼,ゼータ函数の零点はどこにある？
正しく知らねばならない 推測だけでは無く
素数定理を確かなものとするために
積分の輪郭線は零点近くへ向かわない
アンドレ・ヴェイユはリーマン予想を改良した
より素敵なゼータ函数を使って
零点のあるべき場所を証明する
票数はpであるという前提のもとに
困難に満ちたこの長いお話からある教訓が得られる
若く賢いあなたたちには知っておいて欲しいこと
もし問題に立ち向かって行き詰まってしまったら
pの法を取れば上手く行くかもしれない
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https://www.storange.jp/2014/09/blog-post.html
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リーマン予想の歌
2014-09-01T19:14:00+09:00
https://www.storange.jp/2014/09/blog-post.html
Hideyuki Tabata
Hideyuki Tabata
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